FUNCIONES CUADRÁTICAS

¿Para qué estudiamos funciones cuadráticas? En el siguiente video puedes ver algunas de las aplicaciones.

A continuación te propongo realizar la siguiente guía Teórico-Práctica. 

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Recordemos que la fórmula general que corresponde a una función cuadrática es:
 y= a x² + b x + c

Con “a” distinto de cero, siendo a, b y c números reales. Su gráfico es una curva llamada parábola.

Grafica la función: y =  x² - 1    considerando la tabla de valores:

x	y
-2
-1
0
1
2

                                                                

                    

                                                                                                   

                                                                                        

Para hallar las raíces en forma analítica recordemos que consideramos la ecuación

           

Vemos en el gráfico que el punto vértice de la parábola es: (0 , -1) y que el eje de simetría es el eje y Veamos un ejemplo que puede ocurrir en la vida real.

Desde un barco que se halla en situación de emergencia, se efectúa un disparo en forma vertical, con una lanza bengalas. El destello podrá verse desde la base naval más cercana únicamente mientras se encuentre a una altura no menor de 195 m sobre el nivel del mar. Los técnicos que integran la tripulación estiman que, de acuerdo con las características del disparador de señales y con las condiciones en que se dispara, la altura del destello estará dada por la siguiente fórmula:

                                                             h(t) = 80 t - 5 t²

Donde h es la altura sobre el nivel del mar, en metros, cuando hayan transcurrido t segundos desde el momento del disparo.

Esta fórmula corresponde a una función cuadrática. ¿Llegará a verse el destello desde la base naval? De ser así ¿Durante cuánto tiempo? Como todo objeto lanzado verticalmente hacia arriba, el destello que produce la señal luminosa ascenderá hasta cierto punto y luego comenzará a caer. La fórmula de la función nos permite evaluar con exactitud la altura del destello en cada instante.

Consideremos nuevamente la fórmula general de una función cuadrática:

                                            

                                         y= a x² + b x + c

Si le damos distintos valores a los coeficientes a, b y c obtenemos las fórmulas de distintas funciones cuadráticas.

Completa el siguiente cuadro:

FÓRMULA	a	b	c
f(x)=-8 + 3 x2- 4x
g(x)= 3 x2+ 5x
h(x)=-4x2 + 6x2-5
	-1	0	4
	9	-4	5
	3	2	1

Analicemos ahora los gráficos de las distintas funciones cuadráticas:

Si  a = 1;  b = 0  y  c = 0  la función será f(x) = x² .  Realiza la tabla y grafica.

x	y
-2
-1
0
1
2

                                                             

                                                                                                      

                                                                                

El eje de simetría es el eje………y el vértice es el punto………..

Consideremos ahora la función: f(x) = a x²       Si a es positivo, por ejemplo considera:   
                 

g(x) = 2 x²     ; h(x) = 3 x²     y   k(x) = 0,5 x²

Realiza las tablas y grafica las funciones dadas: g(x), h(x) y k(x) en un mismo sistema de ejes cartesianos ortogonales. 
                     

x	y=g(x)	y=h(x)	y=k(x)
-2
-1
0
1
2

                             

Las ramas de las parábolas van hacia ………………. Cuanto menor es ”a” la parábola es ………………………………….., cuanto mayor es “a”  la parábola es más cerrada.

Consideremos ahora ”a” negativo, por ejemplo:    p(x) = - 2 x²     ; q(x) = - 3 x²     y   r(x) = - 0,5 x²

Realiza las tablas y grafica las funciones p(x), q(x) y r(x)  dadas en un mismo sistema de ejes cartesianos ortogonales.

x	y=p(x)	y=q(x)	y=r(x)
-2
-1
0
1
2

                                 

Las ramas de las parábolas van hacia ………………. Cuanto menor es el valor absoluto de ”a”  la parábola es más abierta, cuanto mayor es el valor absoluto de ”a” la parábola es más cerrada.

CRECIMIENTO. DECRECIMIENTO Y EXTREMO

Las funciones cuadráticas presentan un tramo en que son crecientes y otro en el que son decrecientes. Además la ordenada del vértice es el valor máximo o el valor mínimo que alcanza la función. Lo llamamos extremo. En los gráficos anteriores podemos observar que:

*La función f(x)= x²  es decreciente para los valores negativos de “x”. Su intervalo de decrecimiento es desde menos infinito hasta cero. Además es creciente para los valores positivos de ”x”. Su intervalo de crecimiento es cero a mas infinito.

*Las funciones g(x), h(x) y k(x) tienen los mismos intervalos de crecimiento y decrecimiento que f(x)=x²    Para todas ellas la ordenada del vértice es un mínimo, ya que la imagen del  es el menor valor que toma la función.

*Las funciones p(x), q(x) y r(x) son crecientes en el intervalo: menos infinito a cero y decrecientes en el intervalo  desde cero a mas infinito. Para estas funciones, la ordenada del vértice es un máximo, ya que la imagen del  es el mayor valor que toma la función.

DESPLAZAMIENTOS DE f(x) = x²

Desplazamiento Vertical

Si desplazamos el gráfico de f(x) dos unidades hacia arriba obtenemos el gráfico de la función

g(x) = x² + 2

Si desplazamos el gráfico de f(x) tres unidades hacia abajo obtenemos el gráfico de la función

 h(x) = x² - 3

Realiza el gráfico de cada una de las funciones anteriores en un mismo sistema de ejes cartesianos ortogonales.

x	y=g(x)	y=h(x)
-2
-1
0
1
2

En el gráfico podemos observar que estos desplazamientos no modificaron el eje de simetría, pero sí la ordenada del vértice y el conjunto imagen de cada función.

Desplazamiento Horizontal

Si desplazamos el gráfico de f(x) dos unidades hacia la derecha obtenemos el gráfico de la función
 j(x) = (x - 2)²

Si desplazamos el gráfico de f(x) tres unidades hacia la izquierda obtenemos el gráfico de la función
k(x) = (x – 3)²

Realiza el gráfico de cada una de las funciones anteriores en un mismo sistema de ejes cartesianos ortogonales.

x	y=j(x)	y=k(x)
-2
-1
0
1
2

El eje de simetría de k(x) es x = - 3 y el punto vértice es (-3,0). Estos desplazamientos modificaron el eje de simetría y la abscisa del vértice, pero no su ordenada ni el conjunto imagen de cada función. Vemos que el eje de simetría de j(x) es x = 2 y el punto vértice es (2,0).

Desplazamiento Vertical y horizontal

Si desplazamos el gráfico de f(x) una unidad hacia la derecha y dos unidades hacia arriba, obtenemos el gráfico de la función m(x) = (x - 1)² + 2  

Si desplazamos el gráfico de f(x) tres unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo obtenemos el gráfico de la función n(x) = (x + 3)² – 1

Realiza el gráfico de cada una de las funciones anteriores en un mismo sistema de ejes cartesianos ortogonales.

                         

x	y=m(x)	y=n(x)
-2
-1
0
1
2

                            

                                                                   

Observamos que el eje de simetría de m(x) es x = 1  y el vértice  es (1,2)

El eje de simetría de n(x) es x = -3  de  y el vértice  es (-3,1)

En general podemos considerar la siguiente fórmula: g(x) = (x - p)² + k

“p” unidades en dirección horizontal.

“k” unidades en dirección vertical.

Si ”p” es positivo el desplazamiento es hacia la derecha.

Si “p” es negativo el desplazamiento es hacia la izquierda.

Si  “k” es positivo el desplazamiento es hacia la arriba.

Si  “k” es negativo el desplazamiento es hacia la abajo.

RAÍCES DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Cuando graficamos una función cuadrática cuyo dominio es R, puede ocurrir que la parábola tenga contacto con el eje x en dos puntos, o en solo un punto o bien que no tenga contacto. Las abscisas de los puntos de contacto son las raíces reales o ceros de la función. Si no tiene ningún contacto con el eje x, la función no tiene raíces reales. Recordemos que para hallar los ceros de una función hay que buscar las abscisas de los puntos cuya ordenada es 0. Para ello planteamos la ecuación: f(x) = 0 y despejamos, si es posible, los valores de x que verifican la ecuación.

Al comienzo vimos el ejemplo con la función: y =  x² - 1   

Por ejemplo para la función: g(x) = x² + 2

Planteamos la ecuación  x² + 2 = 0 y despejamos x luego x²= -2  Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo, la función no tiene raíces reales. Su gráfico no corta al eje x.

La ecuación que planteamos para buscar las raíces de una función cuadrática en forma general es:

 a x² + b x + c = 0  con ”a” distinto de cero, esta ecuación recibe el nombre de ecuación cuadrática de segundo grado.

Consideremos los siguientes casos:

Si el término lineal es nulo:

Ejemplo:

En la ecuación: -2 x² + 8 = 0 donde a=……; b=……; c=……..

Podemos despejar x:  - 2 x² = -8 ; x² = -8 : (-2) ; x² = 4 ; de donde resultan dos soluciones:

 x₁ =2   y  x₂ = - 2

                         

Si el término independiente es nulo:

Ejemplo:

Consideremos la ecuación:  x² - 8 x = 0   a=……..; b=……..; c=……….   

Podemos extraer factor común x:

x (x – 8) = 0

Entonces necesariamente uno de los factores debe ser 0 Por lo tanto, debemos plantear: x=0

o  x – 8 = 0 Para cada una de estas posibilidades obtenemos una solución: x₁ =0   y  x₂ = 8

Observa que en estas ecuaciones siempre tendremos x = 0  como una de las soluciones.

Si la ecuación está completa:

1. Consideremos la ecuación: x² + 2x – 3    a =……..;   b =………;  c = ……….    
2. Aquí no podemos extraer factor común , ni despejar. Para resolver este tipo de ecuaciones usaremos la fórmula:

  

Esta fórmula recibe el nombre de “fórmula resolvente”

Para nuestro ejemplo, reemplazando por los valores dados:

Observaciones:

Ø  Como en la fórmula resolvente hay una raíz cuadrada, si el radicando es negativo diremos que la ecuación que intentamos resolver no tiene solución en el conjunto de los números reales.

Ø  Si la ecuación es cuadrática pero no tiene la forma: a x² + b x + c = 0   resolvemos todas las operaciones indicadas para reducirla a esa forma.

Por ejemplo:

CONSTRUCCIÓN DEL GRÁFICO

Para graficar una función cuadrática aprovechamos las características particulares de la parábola: su eje de simetría, su vértice, sus raíces (cuando son reales) y su ordenada al origen.

*Consideremos el ejemplo 1  visto anteriormente:

Ya hemos determinado las raíces: x₁ = 1  y  x₂ = - 3

Ø   Es decir, ya conocemos los puntos donde la curva corta al eje x.

Grafica estos puntos en un eje de coordenadas cartesianas.

Ø  Para determinar el punto vértice podemos usar la fórmula:

Reemplazando por los valores de a y b 

    

También podemos usar la fórmula:  X_v = (x₁ + x₂) : 2

Ya que las raíces equidistan del eje de simetría. Reemplazando los valores de  x₁  y de x₂ será:

X_v = (1 - 3) : 2 = -1

Determinemos ahora la ordenada del punto vértice reemplazando la abscisa del punto vértice hallada en la función:

 Es decir el punto vértice es: P_v (-1 , -4)

Grafica este punto en el eje de coordenadas cartesianas.

Ø  Veamos el punto donde la curva corta al eje , recordemos que a éste punto se le llama “ordenada al origen” y se determina calculando f(0).

f(0) = 0² + 2.0 - 3 

 Grafica entonces el punto: (0,-3) en el gráfico.

EJERCICIOS

1.     Completa el siguiente cuadro:

FUNCIÓN	a	b	c
f(x)= x2 - 1
g(x)= 2x2 – 2x
h(x)= - x2 – 2 + 3x
i(x)= - x2 – 1 + 2x
j(x)= 2x -3 + x2

2.     Grafica cada una de las funciones del ejercicio anterior determinando el punto vértice, las raíces, la ordenada al origen y algún otro punto necesario.

3.     Considera las mismas funciones de los ejercicios anteriores y completa el siguiente cuadro.

FUNCIÓN	Ramas hacia	Intervalos de crecimiento	Intervalos de decrecimiento	Ordenada al origen
f(x)
g(x)
h(x)
i(x)
j(x)